自然對數-世界杯金手套-90世界杯_世界杯球队

自然对数（英語：Natural logarithm）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作

⁡

{\displaystyle \ln x}

或

log

⁡

{\displaystyle \log _{e}x}

，其反函数為指數函數

{\displaystyle e^{x}}

。[註 1]

自然對數

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(x)}

的函數圖像

自然对数

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(x)}

的積分定義

自然对数积分定義為對任何正實數

{\displaystyle x}

，由

{\displaystyle 1}

到

{\displaystyle x}

所圍成，

{\displaystyle xy=1}

曲線下的面積。如果

{\displaystyle x}

小於1，則計算面積為負數。

⁡

∫

{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,}

{\displaystyle e}

則定義為唯一的實數

{\displaystyle x}

使得

⁡

{\displaystyle \ln x=1}

。

自然对数一般表示為

⁡

{\displaystyle \ln x\!}

，數學中亦有以

log

⁡

{\displaystyle \log x\!}

表示自然對數。[1][註 2]

1 歷史

1.1 十七世纪

1.2 十八世纪

2 形式定義

3 性質

4 導數

5 冪級數

6 積分

6.1 例子

7 與雙曲函數的關係

8 連分數

9 複數對數

9.1 主值定義

10 科学應用

11 註釋

12 参考资料

13 延伸阅读

歷史

编辑

十七世纪

编辑

雙曲線扇形是笛卡爾平面

{

(

)

}

{\displaystyle \{(x,y)\}}

上的一個區域，由從原點到

(

)

{\textstyle (a,{\frac {1}{a}})}

和

(

)

{\textstyle (b,{\frac {1}{b}})}

的射線，以及雙曲線

{\displaystyle xy=1}

圍成。在標準位置的雙曲線扇形有

{\displaystyle a=1}

且

{\displaystyle b>1}

，它的面積為

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(b)}

[2]，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。

當直角雙曲線下的兩段面積相等時，

{\displaystyle x}

的值呈等比數列，

{\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k}

，

{\displaystyle y}

的值也呈等比數列，

{\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}}

。

約翰·納皮爾在1614年[3]以及约斯特·比尔吉在6年後[4]，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近

{\textstyle {\frac {1}{e}}}

[5]，而约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數

{\displaystyle e}

。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，亨利·布里格斯（英语：Henry Briggs (mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[6]於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如

(

)

{\displaystyle f(x)=x^{p}}

的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況

−

{\displaystyle p=-1}

對應於雙曲線的弓形面積（英语：Quadrature (mathematics)），即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）給出[7]，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年圣文森特的格列高利（英语：Grégoire de Saint-Vincent）將對數聯繫於雙曲線

{\displaystyle xy=1}

的弓形面積，他發現x軸上

[

]

{\displaystyle [a,b]}

兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同

[

]

{\displaystyle [c,d]}

對應的扇形，在

{\textstyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

時面積相同，這指出了雙曲線從

{\displaystyle x=1}

到

{\displaystyle x=t}

的積分

(

)

{\displaystyle f(t)}

滿足[8]：

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\,}

1649年，萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將

{\textstyle {\frac {1}{1+x}}}

展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9]，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世纪

编辑

大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[10][11]：

lim

→

∞

(

)

{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}

⁡

(

)

lim

→

∞

(

−

)

{\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)}

1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念[12]。

形式定義

编辑

歐拉定義自然對數為序列的極限：

⁡

(

)

lim

→

∞

(

−

)

{\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).}

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(a)}

正式定義為積分，

⁡

(

)

∫

{\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

⁡

(

)

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!}

這可以通過將定義了

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(ab)}

的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元

{\displaystyle x=ta}

來證實:

⁡

(

)

∫

(

)

{\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)}

∫

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).}

冪公式

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(t^{r})=r\ln(t)}

可如下推出:

⁡

(

)

∫

(

)

∫

(

−

)

∫

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).}

第二個等式使用了換元

{\displaystyle u=x^{\frac {1}{r}}}

。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

⁡

(

)

−

lim

→

∫

∞

(

−

)

{\displaystyle \ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).}

性質

编辑

⁡

(

)

∫

{\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,}

⁡

(

−

)

{\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,}

(參見複數對數)

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0

lim

→

⁡

(

)

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,}

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,}

−

≤

⁡

(

)

≤

−

{\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,}

⁡

(

)

≤

≥

{\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,}

證明

lim

→

⁡

(

)

lim

→

⁡

(

)

−

⁡

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1}

導數

编辑

自然對數的圖像和它在

1.5

{\displaystyle x=1.5}

處的切線。

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(1+x)}

的泰勒多項式只在

−

≤

{\displaystyle -1

範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數為

⁡

(

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}

證明一（微積分第一基本定理）:

⁡

(

)

∫

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}}

證明二：按此影片（页面存档备份，存于互联网档案馆）

⁡

(

)

lim

→

⁡

(

)

−

⁡

(

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}}

lim

→

⁡

(

)

{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}}

lim

→

[

⁡

(

)

]

{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad }

lim

→

⁡

(

)

{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}}

设

⇒

{\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h}

{\displaystyle {\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}}

⁡

(

)

lim

→

⁡

(

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}}

lim

→

⁡

[

(

)

]

{\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}}

lim

→

⁡

(

)

{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}}

设

⇒

{\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}}

⁡

(

)

lim

→

∞

⁡

(

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

⁡

[

lim

→

∞

(

)

]

{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]}

⁡

{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln e}

{\displaystyle ={\frac {1}{x}}}

用自然對數定義的更一般的對數函數，

log

⁡

(

)

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}

，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為[13][14]：

log

⁡

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}

根據鏈式法則，以

(

)

{\displaystyle f(x)}

為參數的自然對數的導數為

⁡

[

(

)

]

′

(

)

(

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}

右手端的商叫做

{\displaystyle f}

的對數導數（英语：logarithmic derivative），通過

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(f(x))}

的導數的方法計算

′

(

)

{\displaystyle f'(x)}

叫做對數微分[15]。

冪級數

编辑

自然對數的導數性質導致了

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(1+x)}

在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

⁡

(

)

∑

∞

(

−

)

−

⋯

{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }

對於所有

≤

{\displaystyle \left|x\right|\leq 1,}

但不包括

−

{\displaystyle x=-1.}

把

−

{\displaystyle x-1}

代入

{\displaystyle x}

中，可得到

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(x)}

自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何

{\displaystyle x}

有效的如下級數:

⁡

−

∑

∞

⋯

{\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.}

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到

−

{\displaystyle x \over {x-1}}

是自身的逆函數，所以要生成特定數

{\displaystyle y}

的自然對數，簡單把

−

{\displaystyle x \over {x-1}}

代入

{\displaystyle x}

中。

⁡

∑

∞

(

−

)

(

−

)

(

−

)

(

−

)

⋯

{\displaystyle \ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,}

對於

⁡

(

)

≥

{\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.}

自然數的倒數的總和

⋯

∑

{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當

{\displaystyle n}

趨於無窮的時候，差

∑

−

⁡

(

)

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。[16]

積分

编辑

自然對數通過分部積分法積分:

∫

⁡

(

)

⁡

(

)

−

{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}

假設:

⁡

(

)

⇒

{\displaystyle u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}

⇒

{\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x\,}

所以:

∫

⁡

(

)

⁡

(

)

−

∫

⁡

(

)

−

∫

⁡

(

)

−

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}

自然對數可以簡化形如

(

)

′

(

)

(

)

{\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}

的函數的積分：

(

)

{\displaystyle g(x)}

的一個原函數給出為

⁡

(

)

{\displaystyle \ln(\left\vert f(x)\right\vert )}

。這是基於鏈式法則和如下事實:

⁡

{\displaystyle \ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.}

換句話說，

∫

⁡

{\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}

且

∫

′

(

)

(

)

⁡

(

)

{\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}

例子

编辑

下面是

(

)

tan

⁡

{\displaystyle g(x)=\tan x}

的例子：

∫

tan

⁡

∫

sin

⁡

cos

⁡

∫

−

cos

⁡

cos

⁡

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}}

設

(

)

cos

⁡

{\displaystyle f(x)=\cos x}

且

′

(

)

−

sin

⁡

{\displaystyle f'(x)=-\sin x}

：

∫

tan

⁡

−

⁡

cos

⁡

sec

⁡

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}}

與雙曲函數的關係

编辑

在直角雙曲線(方程

{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}

)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角

{\displaystyle u}

的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中

cosh

{\displaystyle \cosh }

和

sinh

{\displaystyle \sinh }

的

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

倍。

射線出原點交單位雙曲線

−

{\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}

於點

(

cosh

sinh

)

{\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}

，這裡的

{\displaystyle \scriptstyle a}

是射線、雙曲線和

{\displaystyle \scriptstyle x}

軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數[17]，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積[18]。對數函數是在直角雙曲線

{\displaystyle xy=1}

下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線

{\displaystyle y=x}

上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角

{\displaystyle u}

，在漸近線即x或y軸上需要有的

{\displaystyle x}

或

{\displaystyle y}

的值。顯見這裡的底邊是

(

−

)

{\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}

，垂線是

(

−

)

{\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}

。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

cosh

⁡

−

{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}

sinh

⁡

−

{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線

{\displaystyle xy=1}

下雙曲角的

{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

。

連分數

编辑

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

⁡

(

)

−

⋯

−

⋱

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}}

⁡

(

)

⋱

−

(

)

(

)

−

(

)

(

)

−

(

)

(

)

−

⋱

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}}

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為

1.25

1.024

{\displaystyle 2=1.25^{3}\times 1.024}

，2的自然對數可以計算為:

⁡

(

)

⁡

(

125

)

−

⋱

253

−

759

−

1265

−

1771

−

⋱

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}

進而，因為

1.25

1.024

{\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^{3}}

，10的自然對數可以計算為:

⁡

(

)

⁡

(

125

)

−

⋱

253

−

759

−

1265

−

1771

−

⋱

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}

複數對數

编辑

主条目：複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數

{\displaystyle x}

得出複數值為

{\displaystyle e^{x}}

的函數，只需要簡單使用

{\displaystyle x}

為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在

{\displaystyle x}

使得

{\displaystyle e^{x}=0}

；並且有著

{\displaystyle e^{2\pi i}=1=e^{0}}

。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，

{\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\pi i}}

，對於所有複數

{\displaystyle z}

和整數

{\displaystyle n}

。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加

{\displaystyle 2\pi i}

的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，

log

⁡

{\displaystyle \log i={\frac {1}{2}}\pi i}

或

{\displaystyle {\frac {5}{2}}\pi i}

或

−

{\displaystyle -{\frac {3}{2}}\pi i}

等等；儘管

{\displaystyle i^{4}=1}

，

log

{\displaystyle 4\log =i}

不能定義為

{\displaystyle 2\pi i}

或

{\displaystyle 10\pi i}

或

−

{\displaystyle -6\pi i}

，以此類推。

自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖

z=Re(ln(x+iy))

前三圖的疊加

主值定義

编辑

對於每個非0複數

{\displaystyle z=x+yi}

，主值

log

⁡

{\displaystyle \log z}

是虛部位於區間

(

−

]

{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}

內的對數。表達式

log

⁡

{\displaystyle \log 0}

不做定義，因為沒有複數

{\displaystyle w}

滿足

{\displaystyle e^{w}=0}

。

要對

log

⁡

{\displaystyle \log z}

給出一個公式，可以先將

{\displaystyle z}

表達為極坐標形式，

{\displaystyle z=re^{i\theta }}

。給定

{\displaystyle z}

，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向

{\displaystyle \theta }

增加

{\displaystyle 2\pi }

的整數倍，所以為了保證唯一性而要求

{\displaystyle \theta }

位於區間

(

−

]

{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}

內；這個

{\displaystyle \theta }

叫做幅角的主值，有時寫為

arg

⁡

{\displaystyle \operatorname {arg} z}

或

atan

⁡

(

)

{\displaystyle \operatorname {atan} 2(y,x)}

。則對數的主值可以定義為[19] ：

Log

⁡

Arg

⁡

atan2

⁡

(

)

{\displaystyle \operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}

例如，

Log

⁡

(

−

)

⁡

−

{\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}}

。

科学應用

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自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的微分方程

{\displaystyle N}

随时间变化率

−

{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-pN}

，常数

{\displaystyle p}

为原子衰变概率，积分得

(

)

(

)

exp

⁡

(

−

)

{\displaystyle N(t)=N(0)\exp(-pt)}

。

註釋

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^ 根據微積分學，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因

{\displaystyle e^{x}}

的值域為

(

∞

)

{\displaystyle (0,\infty )}

，且其為

⁡

{\displaystyle \ln x}

之反函數，故可知

⁡

{\displaystyle \ln x}

之定義域為

(

∞

)

{\displaystyle (0,\infty )}

，即

⁡

{\displaystyle \ln x}

在非正實數系無法定義。

^ 若要避免與底為10的常用對數

log

⁡

{\displaystyle \log x\!}

混淆，可用「全寫」

log

⁡

{\displaystyle \log _{\boldsymbol {e}}x\!}

。

参考资料

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^ 例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）

^ 證明：從1到b積分1/x，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。

^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914

^ Boyer, Carl B., 14，Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8

^ 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。

^ 以

{\displaystyle 10^{\frac {1}{2^{54}}}}

這個接近1的數為基礎。

博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分：

∫

≥

{\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}

其不定積分形式為：

∫

≠

−

{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}

獨立發現者還有：皮埃爾·德·費馬、罗贝瓦尔的吉尔（英语：Gilles de Roberval）和埃萬傑利斯塔·托里拆利。

^ 設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。

^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02], （原始内容存档于2012-02-19）

卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n(x的負數冪)，由於在x = 0處有個奇點，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：

∫

(

−

)

≠

−

{\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}

歐拉的自然對數定義：

⁡

(

)

lim

→

∞

(

−

)

lim

→

−

(

−

)

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1)\\&=\lim _{n\rightarrow -1}{\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\end{aligned}}}

^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489

(

)

(

)

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}=\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{\frac {x}{n}}}

在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。

^ Lang 1997, section IV.2

^ Wolfram, Stephen. "Calculation of d/dx(Log(b,x))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. （原始内容存档于2011-07-18）（英语）.

^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386

^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8

^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.

^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-28], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.

^ Sarason, Section IV.9.